Resolva as equações:
log 3[1+2 cdot log 2(3-log 4 x^2)]=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver
log3l[,1 + 2cdot log2l(3 - log4(x^2)r)r] = 1
O conteúdo aqui é equações com logaritmos aninhados. Para resolver, vamos usar a definição de logaritmo
loga(B)=C Long<=ftrightarrow B = a^C,
além de verificar o domínio: todo argumento de log deve ser positivo.

Passo 2

Aplicando a definição de logaritmo de base 3 temos
1 + 2cdot log2l(3 - log4(x^2)r) = 3^1 = 3
Isso elimina o logaritmo de base 3 e nos dá uma equação mais simples.

Passo 3

Isolando o logaritmo de base 2:
2cdot log2l(3 - log4(x^2)r) = 3 - 1 = 2 Longrightarrow log2l(3 - log4(x^2)r) = 1

Passo 4

Agora aplicamos a definição de logaritmo de base 2:
3 - log4(x^2) = 2^1 = 2 Longrightarrow log4(x^2) = 3 - 2 = 1

Passo 5

Por fim, usamos a definição de logaritmo de base 4:
x^2 = 4^1 = 4 Longrightarrow x = pm 2
Verificando o domínio:
  1. xneq 0 para log4(x^2) fazer sentido.
  2. 3 - log4(x^2) = 3 - 1 = 2 > 0, então log2(2) está bem definido.
  3. O valor interno de log3[cdots] fica 1+2cdot1=3>0.
    Ambas as soluções x=2 e x=-2 satisfazem todas as condições de domínio.

Resposta

x = 2 ou x = -2

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