Resolva as equações:
a)
log 4^2 x-2 cdot log 4 x-3=0
b)
6 cdot log 2^2 x-7 cdot log 2 x+2=0
c)
log x(log x-1)=6
d)
log 2 x(2 cdot log 2 x-3)=2
e)
2 cdot log 4^2 x+2=5 cdot log 4 x
f)
log ^3 x=4 cdot log x

Passo 1

O enunciado pede para resolver seis equações que envolvem logaritmos. Em todas elas precisamos lembrar que o argumento do logaritmo deve ser positivo e usar a mudança de variável
y = loga x
para transformar a equação em uma equação algébrica em y. Depois resolvemos para y e voltamos a x com x = a^y.

Passo 2

Resolvendo a) log4^2x - 2cdotlog4x - 3 = 0.
Defina y = log4x. A equação fica
y^2 - 2y - 3 = 0
Essa é uma quadrática com De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 = 16, logo
y = 2 pm 42 ;Longrightarrow; y = 3 ou y = -1
Voltando para x:
log4x = 3 ;Longrightarrow; x = 4^3 = 64, log4x = -1 ;Longrightarrow; x = 4^-1 = tfrac14

Passo 3

Resolvendo b) 6cdotlog2^2x - 7cdotlog2x + 2 = 0.
Defina y = log2x. A equação fica
6y^2 - 7y + 2 = 0
Temos De<a = (-7)^2 - 4cdot6cdot2 = 49 - 48 = 1, então
y = 7 pm 112 ;Longrightarrow; y = tfrac812 = tfrac23, y = tfrac612 = tfrac12
Voltando para x:
log2x = tfrac23 ;Longrightarrow; x = 2^2/3 = raiz[3]4, log2x = tfrac12 ;Longrightarrow; x = 2^1/2 = raiz2

Passo 4

Resolvendo c) log x,(log x - 1) = 6 (base 10).
Defina y = log x. A equação fica
y(y - 1) = 6 ;Longrightarrow; y^2 - y - 6 = 0
O discriminante é De<a = 1 + 24 = 25, logo
y = 1 pm 52 ;Longrightarrow; y = 3,; y = -2
Voltando para x:
log x = 3 ;Longrightarrow; x = 10^3 = 1000, log x = -2 ;Longrightarrow; x = 10^-2 = 0,01

Passo 5

Resolvendo d) log2x,(2cdotlog2x - 3) = 2.
Defina y = log2x. A equação fica
y(2y - 3) = 2 ;Longrightarrow; 2y^2 - 3y - 2 = 0
Aqui De<a = (-3)^2 - 4cdot2cdot(-2) = 9 + 16 = 25, então
y = 3 pm 54 ;Longrightarrow; y = 2,; y = -tfrac12
Voltando para x:
log2x = 2 ;Longrightarrow; x = 2^2 = 4, log2x = -tfrac12 ;Longrightarrow; x = 2^-1/2 = 1raiz2

Passo 6

Resolvendo e) 2cdotlog4^2x + 2 = 5cdotlog4x.
Defina y = log4x. A equação fica
2y^2 - 5y + 2 = 0
O discriminante é De<a = (-5)^2 - 4cdot2cdot2 = 25 - 16 = 9, logo
y = 5 pm 34 ;Longrightarrow; y = 2,; y = tfrac12
Voltando para x:
log4x = 2 ;Longrightarrow; x = 4^2 = 16, log4x = tfrac12 ;Longrightarrow; x = 4^1/2 = 2

Passo 7

Resolvendo f) log^3x = 4cdotlog x (base 10).
Defina y = log x. A equação fica
y^3 - 4y = 0 ;Longrightarrow; y(y^2 - 4) = 0 ;Longrightarrow; y = 0,; y = 2,; y = -2
Voltando para x:
log x = 0 ;Longrightarrow; x = 10^0 = 1, log x = 2 ;Longrightarrow; x = 10^2 = 100, log x = -2 ;Longrightarrow; x = 10^-2 = 0,01

Resposta

(a) x = 64 ou x = tfrac14
(b) x = raiz[3]4 ou x = raiz2
(c) x = 1000 ou x = 0,01
(d) x = 4 ou x = tfrac1raiz2
(e) x = 16 ou x = 2
(f) x = 1, x = 100 ou x = 0,01

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