Resolva a equação a^4 x+a^2 x=1, supondo 0<a neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
a^4x + a^2x = 1,
com 0<aneq1. Vamos usar a estratégia de reduzir a um polinômio por meio de substituição.

Passo 2

Definimos
t = a^2x,
que é sempre positivo. Então
a^4x = l(a^2xr)^2 = t^2
e a equação original vira
t^2 + t = 1

Passo 3

Reorganizando, obtemos o polinômio
t^2 + t - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
t = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52
Como t>0, a única solução válida é
t = -1 + raiz52

Passo 4

Voltando à substituição t = a^2x, temos
a^2x = raiz5 - 12
Aplicando o logaritmo de base a (lembrando que a>0 e aneq1),
2x = loga!l(tfracraiz5-12r),
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x = 12,loga!l(tfracraiz5-12r)

Resposta

x = 12,loga!l(raiz5-12r)

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