Resolva as equações:
log 2(5 x^2-14 x+1)=log 2(4 x^2-4 x-20)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log2l(5x^2-14x+1r)=log2l(4x^2-4x-20r).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de igualdade de logaritmos de mesma base, e também precisamos lembrar das restrições de domínio: os argumentos dos logaritmos devem ser positivos.

Passo 2

Como a função log2(t) é injetora (cresce estritamente), temos
5x^2-14x+1 ;=;4x^2-4x-20

Passo 3

Reagrupando todos os termos de um lado:
5x^2-14x+1 - (4x^2-4x-20)=0 Longrightarrow x^2-10x+21=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
De<a = (-10)^2-4cdot1cdot21 =100-84=16,
x = 10pmraiz162 = 10pm42 ;Longrightarrow; x=7ou x=3

Passo 4

Agora conferimos as restrições de domínio, ou seja, precisamos de
5x^2-14x+1>0 e 4x^2-4x-20>0
Basta testar as soluções encontradas:
  1. Para x=3:
    5cdot3^2-14cdot3+1=45-42+1=4>0
    4cdot3^2-4cdot3-20=36-12-20=4>0.
  2. Para x=7:
    5cdot7^2-14cdot7+1=245-98+1=148>0
    4cdot7^2-4cdot7-20=196-28-20=148>0.
Ambas satisfazem as condições, logo são válidas.

Passo 5

Concluímos que as soluções da equação são
x=3 e x=7

Resposta

x=3 ou x=7

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