Resolva o sistema de equações:
l64^2 x+64^2 y=40 64^x+y=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
64^2x + 64^2y = 40, 64^x+y = 12
Esse problema usa propriedades de potências e logaritmos. Vamos transformar as potências de base 64 em variáveis para obter um sistema algébrico mais simples.

Passo 2

Definimos
A = 64^x e B = 64^y
Então
64^2x = (64^x)^2 = A^2,
64^2y = (64^y)^2 = B^2,
64^x+y = 64^xcdot 64^y = A,B
O sistema em A,B fica
A^2 + B^2 = 40,
A,B = 12

Passo 3

Para resolver em A,B, observamos que
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = 40 + 2cdot12 = 64
Logo
A + B = 8
( desconsideramos a raiz negativa pois A e B são positivos, como 64^x>0 para todo real x ).

Passo 4

Agora A e B satisfazem
t^2 - (A+B),t + AB = 0 Longrightarrow t^2 - 8t + 12 = 0
As raízes são
t = 8pmraiz64 - 482 = 8pm 42 ;Longrightarrow; t = 6ou t = 2
Portanto os pares (A,B) possíveis são (6,2) e (2,6).

Passo 5

Voltemos a x,y. De A=64^x e B=64^y temos
x = log64A, y = log64B
Para A=6,
x = log646 = log2 6log2 64 = log2 66,
e para B=2,
y = log642 = log2 26 = 16
No outro caso, A=2 e B=6, invertemos os valores.

Resposta

(x,y) = l(tfrac16,,tfraclog2 66r) ou (x,y) = l(tfraclog2 66,,tfrac16r)

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