Resolva as equações:
log 8(8x^2)log 8^2 x=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver
log8!l(tfrac8x^2r)l(log8xr)^2=3
O conteúdo é manipulação de logaritmos e resolução de uma equação quadrática após substituição. Vamos usar a propriedade
loga!l(MNr)=logaM-logaN

Passo 2

Definimos
t=log8x
Como o logaritmo em base 8 exige x>0 e o denominador l(log8xr)^2=t^2 não pode ser zero, temos
x>0 e tneq0

Passo 3

Calculamos o numerador usando a propriedade dos logaritmos:
log8!l(tfrac8x^2r) =log88-log8x^2 =1-2log8x =1-2t
Substituindo na equação original, fica
1-2tt^2=3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por t^2, obtemos
1-2t=3t^2 Longrightarrow 3t^2+2t-1=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t=-2pmraiz2^2-4cdot3cdot(-1)2cdot3 =-2pmraiz166 =-2pm46,
resultando em
t1=13, t2=-1

Passo 5

Voltando a x, usamos x=8^t.
Para t1=tfrac13,
x=8^1/3=2
Para t2=-1,
x=8^-1=18
Ambas satisfazem x>0 e tneq0.

Resposta

As soluções são
x=2 e x=18

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