Resolva a equação log (x+3)(5 x^2-7 x-9)=log (x+3)(x^2-2 x-3).

Solução

log (x+3)(5 x^2-7 x-9)=log (x+3)(x^2-2 x-3) Rightarrow
Rightarrowl0<x+3 neq 1 e 5 x^2-7 x-9=x^2-2 x-3>0
Resolvendo:
5 x^2-7 x-9=x^2-2 x-3 Rightarrow 4 x^2-5 x-6=0 Rightarrow x=2 ou x=-34; x=2 não é solução, pois, fazendo x=2 e m x^2-2 x-3, encontramos 2^2-2 cdot 2-3=-3<0.
x=-34 é solução, pois, fazendo x=-34 em x^2-2 x-3 e em x+3, encontramos, respectivamente:
(-34)^2-2 cdot(-34)-3=-1516<0
S=varnothing

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log(x+3)l(5x^2 - 7x - 9r) ;=;log(x+3)l(x^2 - 2x - 3r)
O conteúdo envolvido é a propriedade de igualdade de logaritmos com mesma base e as condições de existência (domínio) de um logaritmo.

Passo 2

Para que cada termo log(x+3)(A) exista, precisamos ter simultaneamente
x+3>0, x+3neq1, 5x^2-7x-9>0, x^2-2x-3>0

Passo 3

Como os logaritmos têm a mesma base e ambos argumentos devem ser positivos, podemos igualar os argumentos:
5x^2 - 7x - 9 ;=; x^2 - 2x - 3
4x^2 - 5x - 6 = 0
x = 5 pm raiz25 + 968 = 5 pm 118
x1 = 2, x2 = -34

Passo 4

Verificamos x=2:
;x+3=5>0neq1, mas
x^2 - 2x - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 < 0,
logo o argumento do logaritmo é negativo e x=2 não é aceitável.

Passo 5

Verificamos x=-tfrac34:
;x+3=tfrac94>0neq1, mas
x^2 - 2x - 3 = tfrac916 + tfrac32 - 3 = -tfrac1516<0,
então o argumento também é negativo e descartamos x=-tfrac34.

Passo 6

Não resta nenhum valor que satisfaça todas as condições de existência do logaritmo.

Resposta

A equação não possui solução real, ou seja,
S = varnothing

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