Resolva as equacóes:
|x-1|-|2 x+6|+2|x-4|=13

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo valores absolutos
|x-1| ;-; |2x+6| ;+; 2|x-4| ;=; 13
O conteúdo aqui é a resolução de equações piecewise: vamos identificar os pontos onde cada módulo muda de sinal, dividir em intervalos, retirar os valores absolutos e resolver uma equação linear em cada caso.

Passo 2

Os pontos críticos são onde os argumentos dos módulos valem zero:
x-1=0implies x=1, 2x+6=0implies x=-3, x-4=0implies x=4
Assim, temos quatro intervalos a considerar:
(-infty,-3), [-3,1), [1,4), [4,infty)

Passo 3

Intervalo (-infty,-3):
  • x-1<0 então |x-1|=1-x.
  • 2x+6<0 então |2x+6|=-2x-6.
  • x-4<0 então |x-4|=4-x.
    A equação vira
1 - x ;-;(-2x-6);+;2(4-x)=13
Resolvendo:
1 - x + 2x + 6 + 8 -2x =13 Longrightarrow 15 - x =13 Longrightarrow x=2
Como 2notin(-infty,-3), descartamos.

Passo 4

Intervalo [-3,1):
  • x-1<0 então |x-1|=1-x.
  • 2x+6>=0 então |2x+6|=2x+6.
  • x-4<0 então |x-4|=4-x.
    A equação fica
1 - x ;-;(2x+6);+;2(4-x)=13
1 - x -2x -6 +8 -2x =13 Longrightarrow 3 -5x =13 Longrightarrow x=-2
Como -2in[-3,1), aceitamos x=-2.

Passo 5

Intervalo [1,4):
  • x-1>=0 então |x-1|=x-1.
  • 2x+6>0 então |2x+6|=2x+6.
  • x-4<0 então |x-4|=4-x.
    A equação fica
x - 1 ;-;(2x+6);+;2(4-x)=13
x -1 -2x -6 +8 -2x =13 Longrightarrow 1 -3x =13 Longrightarrow x=-4
Como -4notin[1,4), descartamos.

Passo 6

Intervalo [4,infty):
  • x-1>=0 então |x-1|=x-1.
  • 2x+6>0 então |2x+6|=2x+6.
  • x-4>=0 então |x-4|=x-4.
    A equação vira
x - 1 ;-;(2x+6);+;2(x-4)=13
x -1 -2x -6 +2x -8 =13 Longrightarrow x -15 =13 Longrightarrow x=28
Como 28in[4,infty), aceitamos x=28.

Passo 7

Dos quatro casos, as únicas soluções que caem nos seus respectivos intervalos são
x = -2 e x = 28

Resposta

As soluções da equação são x=-2 e x=28.

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