Senda a, b e c números reais quaisquer, dé o valor “verdadeiro” ou “falso”:
-
a)
b)
com
c)
d)
e)
f)
g)
(
)
h)
(
)
i)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos como “verdadeiro” ou “falso” várias afirmações envolvendo desigualdades e potências, dado que
,
e
são números reais quaisquer (e nos itens que mencionam condições extras, como
ou
). Para resolver, vamos usar propriedades de monotonicidade de funções do tipo
ou
, além de regras para multiplicar desigualdades por constantes.
Passo 2
Multiplicar uma desigualdade
por uma constante:
- Se o multiplicador for positivo, o sentido não muda.
- Se for negativo, o sentido inverte.
No item a) multiplicamos por(que pode ser negativo ou positivo) e comparamos a , o que não corresponde simplesmente a inverter ou preservar sentido. Exemplo: dá e , violando a equivalência. Logo a é falso.
No item b) multiplicamos por, sempre preservando o sentido, logo
e b é verdadeiro.
Passo 3
Considere a função
com
:
- Se
é ímpar, é estritamente crescente em . Então - Se
é par, não distingue sinal de , não é injetiva, e só temos quando , mas não no geral, e o recíproco falha.
Aplicando a(ímpar) temos os itens i) e k) verdadeiros. Para (par), o item d) é falso (por exemplo dá mas ).
Passo 4
Considere agora a função
com
fixo:
- Se
, é crescente em . - Se
, é decrescente em .
Comopode ser qualquer real, não podemos garantir que implique . Por exemplo, se e , temos . Logo c) e e) são falsas.
Passo 5
No item f) aparece o expoente
em maiúscula sem definição prévia, o que torna a afirmação mal formulada e falsa.
Passo 6
Para
com
fixo, a monotonicidade depende de
:
- Se
, é crescente em . - Se
, é decrescente em .
No item g) temoscom expoente , que é crescente em . Assim
e g é verdadeiro.
Passo 7
Para o item h), a comparação entre
e
não segue diretamente de
. Por exemplo, com
e
temos
logo
embora
. Portanto h é falso.
Resposta
- Verdadeiro
a) Falso
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Falso
e) Falso
f) Falso
g) Verdadeiro
h) Falso
i) Verdadeiro
k) Verdadeiro