Senda a, b e c números reais quaisquer, dé o valor “verdadeiro” ou “falso”:
  1. a>b Rightarrow a^7>b^7
    a) a>b Leftrightarrow a c^3 > b c
    b) a>b Leftrightarrow a c^2>b c^2 ( com c neq 0)
    c) a>b Rightarrow a^b>b^b
    d) a^6>b^6 Rightarrow a>b
    e) a>b Rightarrow a^b>b^b
    f) a>b Rightarrow a^B>b^B
    g) a^a>b^a Rightarrow a>b ( a>0, b>0 )
    h) a>b Rightarrow a^b>b^a ( a>0, b>0 )
    i) a>b Rightarrow a^7>b^7
    k) (a>b rightarrow a^7>b^7)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos como “verdadeiro” ou “falso” várias afirmações envolvendo desigualdades e potências, dado que a, b e c são números reais quaisquer (e nos itens que mencionam condições extras, como cneq0 ou a,b>0). Para resolver, vamos usar propriedades de monotonicidade de funções do tipo xmapsto x^n ou xmapsto a^x, além de regras para multiplicar desigualdades por constantes.

Passo 2

Multiplicar uma desigualdade a>b por uma constante:
  • Se o multiplicador for positivo, o sentido não muda.
  • Se for negativo, o sentido inverte.
    No item a) multiplicamos por c^3 (que pode ser negativo ou positivo) e comparamos a bc, o que não corresponde simplesmente a inverter ou preservar sentido. Exemplo: a=3,b=2,c=0,5 3cdot0,5^3=0,375 e 2cdot0,5=1, violando a equivalência. Logo a é falso.
    No item b) multiplicamos por c^2>0, sempre preservando o sentido, logo
a>biff a c^2 > b c^2,
e b é verdadeiro.

Passo 3

Considere a função f(x)=x^n com ninN:
  • Se n é ímpar, f é estritamente crescente em R. Então a>bimplies a^n>b^n e a^n>b^nimplies a>b
  • Se n é par, f não distingue sinal de x, não é injetiva, e só temos a>bimplies a^n>b^n quando a,b>=0, mas não no geral, e o recíproco falha.
    Aplicando a n=7 (ímpar) temos os itens i) e k) verdadeiros. Para n=6 (par), o item d) é falso (por exemplo a=-2,b=1 (-2)^6>1^6 mas -2not>1).

Passo 4

Considere agora a função g(x)=x^b com b fixo:
  • Se b>0, g é crescente em x>0.
  • Se b<0, g é decrescente em x>0.
    Como b pode ser qualquer real, não podemos garantir que a>b implique a^b>b^b. Por exemplo, se b=-1 e a=3,b=-1, temos 3^-1<(-1)^-1. Logo c) e e) são falsas.

Passo 5

No item f) aparece o expoente B em maiúscula sem definição prévia, o que torna a afirmação mal formulada e falsa.

Passo 6

Para h(x)=a^x com a>0 fixo, a monotonicidade depende de a:
  • Se a>1, é crescente em x.
  • Se 0<a<1, é decrescente em x.
    No item g) temos xmapsto x^a com expoente a>0, que é crescente em x>0. Assim
a^a>b^aimplies a>b
e g é verdadeiro.

Passo 7

Para o item h), a comparação entre a^b e b^a não segue diretamente de a>b. Por exemplo, com a=9 e b=8 temos
9^8 = 43,046,721 e 8^9 = 134,217,728,
logo 9^8 < 8^9 embora 9>8. Portanto h é falso.

Resposta

  1. Verdadeiro
    a) Falso
    b) Verdadeiro
    c) Falso
    d) Falso
    e) Falso
    f) Falso
    g) Verdadeiro
    h) Falso
    i) Verdadeiro
    k) Verdadeiro

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