Resolva a inequação x^4-5 x^2+4 >= 0, em R.

Solução

Fazendo z=x^2, temos:
z^2-5 z+4 >= 0 Rightarrow z <= 1 ou z >= 4
mas z=x^2; portanto:
(x^2 <= 1 ou x^2 >= 4) Rightarrow(x^2-1 <= 0 ou x^2-4 >= 0) Rightarrow
Rightarrow(-1 <= x <= 1 ou x <=-2 ou x >= 2)
logo S=x in R mid x <=-2 ou -1 <= x <= 1 ou x >= 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x^4 - 5x^2 + 4 >= 0 no conjunto dos reais. Como só aparecem potências pares de x, faz sentido usar a substituição z = x^2 e transformar o problema numa inequação quadrática em z.

Passo 2

Com z = x^2, a desigualdade fica
z^2 - 5z + 4 >= 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-5)^2 - 4cdot1cdot4 = 25 - 16 = 9,
portanto as raízes são
z = 5 pm 32 ;Longrightarrow; z = 1 ou z = 4
Como o coeficiente de z^2 é positivo, a parábola abre para cima e satisfaz z^2 - 5z + 4 >= 0 quando
z <= 1 ou z >= 4

Passo 3

Voltando para x, lembramos que z = x^2>= 0. Então a condição anterior vira
x^2 <= 1 ou x^2 >= 4
A primeira desigualdade dá -1 <= x <= 1, e a segunda equivale a |x|>= 2, ou seja x <= -2 ou x >= 2.

Passo 4

Unindo as duas partes do domínio, a solução da inequação em R é
(-infty, -2];cup;[-1,1];cup;[2,infty)

Resposta

x in (-infty, -2];cup;[-1,1];cup;[2,infty)

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