Resolva as inequações.
x-52 x-5 >= x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-52x-5>= x
O conteúdo principal aqui é investigação de sinal de expressão racional. Vamos precisar: (i) determinar o domínio, (ii) colocar tudo num único quociente, (iii) analisar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Identificamos o domínio exigindo que o denominador não seja zero:
2x-5neq0 Longrightarrow xneq52

Passo 3

Colocamos tudo num único quociente:
x-52x-5-x >=0 Longrightarrow x-5 - x(2x-5)2x-5>=0
No numerador temos
x-5 - x(2x-5) = x-5 -2x^2+5x = -2x^2+6x-5 = -l(2x^2-6x+5r)

Passo 4

Estudamos o sinal do numerador -l(2x^2-6x+5r). O polinômio 2x^2-6x+5 tem discriminante
De<a = (-6)^2 -4cdot2cdot5 =36-40=-4<0,
logo 2x^2-6x+5>0 para todo x. Assim o numerador
-,l(2x^2-6x+5r)<0
é sempre negativo.

Passo 5

O sinal da fração
-l(2x^2-6x+5r)2x-5
é dado pelo produto dos sinais de “negativo” (numerador) e de (2x-5) (denominador). Para que a fração seja >=0 (na prática >0, pois o numerador nunca zera), é preciso que denominador seja negativo, de modo que “negativo dividido por negativo” seja positivo.

Passo 6

Resolvendo
2x-5<0 Longrightarrow x<52
Juntando com o domínio xneq5/2, concluímos que a solução é
x<52

Resposta

(-infty,tfrac52)

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