Resolva as inequações.
x^2+5x^2-4 >= 5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2+5x^2-4>= 5
O conteúdo aqui é resolução de inequações envolvendo frações: vamos passar tudo para um único quociente, fatorar numerador e denominador, estudar os sinais e montar o conjunto-solução.

Passo 2

Subtraímos 5 dos dois lados e colocamos no mesmo denominador:
x^2+5x^2-4-5 >= 0
Fazendo o mínimo múltiplo comum e simplificando o numerador:
x^2+5 -5(x^2-4)x^2-4 ;>=;0 Longrightarrow -4x^2+25x^2-4>= 0

Passo 3

Escrevemos o numerador e o denominador em fatores lineares:
-4x^2+25 = 25-4x^2 = (5-2x)(5+2x),
x^2-4=(x-2)(x+2)
Assim, a expressão fica
S(x)=(5-2x)(5+2x)(x-2)(x+2)
Os pontos críticos são as raízes do numerador x=pm52 (onde S=0) e as raízes do denominador x=pm2 (onde S é indefinido).

Passo 4

Agora analisamos o sinal de S(x) em cada intervalo determinado por -infty,-tfrac52,-2,2,tfrac52,infty. De forma resumida:
  • Para |x|>tfrac52 o numerador é negativo;
  • Para |x|<tfrac52 o numerador é positivo;
  • Para |x|>2 o denominador é positivo;
  • Para |x|<2 o denominador é negativo.
    Isso dá:
    intervalo Rightarrow sinal de S(x) -infty< x< -tfrac52 Rightarrow negativo
    -tfrac52< x< -2 Rightarrow positivo
    -2< x< 2 Rightarrow negativo
    2< x< tfrac52 Rightarrow positivo
    tfrac52< x<infty Rightarrow negativo

Passo 5

Como queremos S(x)>=0, incluímos onde S(x)>0 e também onde S(x)=0. Logo o conjunto-solução é
[-tfrac52,-2);cup;(2,tfrac52]

Resposta

[-52,-2)cup(2,52]

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