Resolva as inequaçōes
x(x^2+4 x)x-1<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
xl(x^2+4xr)x-1<0.
O conteúdo é análise de sinais de uma expressão racional. Vamos precisar fatorar o numerador, identificar as raízes e o ponto em que o denominador se anula, e depois montar um quadro de sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
xl(x^2+4xr) = x,x,(x+4) = x^2(x+4)
Portanto a expressão fica
x^2(x+4)x-1<0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos, onde a expressão se anula ou é indefinida:
  • x=-4 torna x+4=0 e zera o numerador.
  • x=0 torna x^2=0 e zera o numerador (multiplicidade 2).
  • x=1 anula o denominador, tornando a expressão indefinida.
    Logo o domínio é xneq1. Os valores que dividem o eixo em intervalos são -4, 0 e 1.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo e depois da fração completa:
Fatores:
;x^2 é sempre não-negativo, e só se anula em x=0 sem trocar sinal.
;x+4 é negativo para x<-4 e positivo para x>-4.
;x-1 é negativo para x<1 e positivo para x>1.
Intervalos:
  • Para x<-4: x+4<0, x^2>0, x-1<0. Produto numerador <0, denominador <0, quociente >0.
  • Para -4<x<0: x+4>0, x^2>0, x-1<0. Numerador >0, denominador <0, quociente <0.
  • Para 0<x<1: x+4>0, x^2>0, x-1<0. Numerador >0, denominador <0, quociente <0.
  • Para x>1: x+4>0, x^2>0, x-1>0. Numerador >0, denominador >0, quociente >0.

Passo 5

Queremos x^2(x+4)x-1<0, ou seja, os intervalos onde o quociente é negativo. Esses são
(-4,0)e(0,1)
Em x=-4 ou x=0 a expressão vale zero (não satisfaz <0), e em x=1 é indefinida.

Resposta

(-4,0)cup(0,1)

Exercícios de Livros Relacionados