Resolva as inequações:
|2 x-3|+|2 x-5| >= 6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação que envolve soma de valores absolutos:
|2x - 3| ;+; |2x - 5| ;>=; 6
O conteúdo principal é o estudo de valores absolutos por casos, usando a definição
|A| = A, & A >= 0, -,A, & A<0
Para resolver, precisamos identificar os pontos em que cada expressão interna muda de sinal, isto é, as raízes de 2x-3 e 2x-5.

Passo 2

Encontramos as raízes das expressões dentro dos módulos:
2x - 3 = 0 ;Rightarrow; x = 32, 2x - 5 = 0 ;Rightarrow; x = 52
Assim, dividimos a reta real em três intervalos:
(-infty,tfrac32), [tfrac32,tfrac52) e [tfrac52,infty).
Em cada intervalo, determinamos o sinal de 2x-3 e de 2x-5 e reescrevemos a soma sem os módulos.

Passo 3

Intervalo x < tfrac32:
Nesse caso 2x-3<0 e 2x-5<0, logo
|2x-3| = 3-2x, |2x-5| = 5-2x
e
|2x-3| + |2x-5| = (3-2x) + (5-2x) = 8 - 4x
A inequação vira
8 - 4x ;>=; 6 Longrightarrow -,4x ;>=; -,2 Longrightarrow x ;<=; tfrac12
Como estamos em x<tfrac32, a solução neste trecho é
(-infty,tfrac12]

Passo 4

Intervalo tfrac32 <= x < tfrac52:
Aqui 2x-3>=0 e 2x-5<0, então
|2x-3| = 2x-3, |2x-5| = 5-2x,
|2x-3| + |2x-5| = (2x-3) + (5-2x) = 2
A inequação fica
2 ;>=; 6,
que é impossível. Logo, não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo x >= tfrac52:
Agora 2x-3>=0 e 2x-5>=0, portanto
|2x-3| = 2x-3, |2x-5| = 2x-5,
|2x-3| + |2x-5| = (2x-3) + (2x-5) = 4x - 8
A inequação torna-se
4x - 8 ;>=; 6 Longrightarrow 4x ;>=; 14 Longrightarrow x ;>=; tfrac72
Dentro de x>=tfrac52, isso dá
[tfrac72,infty)

Passo 6

Juntando as soluções obtidas em cada caso, o conjunto solução da inequação original é
(-infty,tfrac12] ;cup; [tfrac72,infty)

Resposta

(-infty,tfrac12] ;cup; [tfrac72,infty)

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