Resolva as inequações:
7 x+1<x^2+3 x-4 <= 2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta
7x+1 < x^2+3x-4 <= 2x+2
Isso equivale à interseção das soluções de
(i) ;7x+1 < x^2+3x-4
e
(ii) ;x^2+3x-4 <= 2x+2.
O conteúdo aqui é inequações do segundo grau e interseção de intervalos.

Passo 2

Resolver a primeira parte
7x+1 < x^2+3x-4
Passo a passo:
  1. Transponho tudo para o lado direito:
0 < x^2+3x-4 -7x -1 = x^2 -4x -5
  1. Chamo f(x)=x^2-4x-5. A equação f(x)=0 tem
De<a = (-4)^2 -4cdot1cdot(-5)=16+20=36,
raízes
x = 4pm62;Longrightarrow;x=-1ou x=5
  1. Como o coeficiente de x^2 é positivo, f(x)>0 para x< -1 ou x>5.
    Logo a solução de (i) é
(-infty,-1);cup;(5,infty)

Passo 3

Resolver a segunda parte
x^2+3x-4 <= 2x+2
Passo a passo:
  1. Transponho tudo para o lado esquerdo:
x^2+3x-4 -2x -2 <= 0 ;Longrightarrow; x^2 +x -6 <= 0
  1. Chamo g(x)=x^2+x-6. A equação g(x)=0 tem
De<a = 1^2 -4cdot1cdot(-6)=1+24=25,
raízes
x = -1pm52;Longrightarrow;x=-3ou x=2
  1. Como o coeficiente de x^2 é positivo, g(x)<=0 para -3<= x<=2.
    Logo a solução de (ii) é
[-3,2]

Passo 4

Agora tomo a interseção das soluções de (i) e (ii):
l((-infty,-1)cup(5,infty)r);cap;[-3,2] = [-3,-1)

Resposta

[-3,-1)

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