Resolva, em R, a equação:
raizx^2+3 x+6-3 x=x^2+4

Solução

A equação proposta é equivalente a:
x^2+3 x+4-raizx^2+3 x+6=0 Rightarrow x^2+3 x+6-raizx^2+3 x+6-2=0
Fazendo raizx^2+3 x+6=y, temos:
y^2-y-2=0 Rightarrow y=2 ou y=-1
y=-1 não convém, pois y=raizx^2+3 x+6 >= 0.
Para y=2, temos:
raizx^2+3 x+6=2 Rightarrow x^2+3 x+6=2^2 Rightarrow x^2+3 x+2=0 Rightarrow
Rightarrow x=-2 ou x=-1
S=-2,-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação com raiz quadrada
raizx^2+3x+6;-;3x ;=; x^2+4
O conteúdo principal é isolar a raiz, elevar ao quadrado para eliminar o radical, resolver o polinômio resultante e verificar soluções extraviadas.

Passo 2

Isolamos a raiz em um lado da igualdade:
raizx^2+3x+6 = x^2+3x+4
Antes de elevar ao quadrado, garantimos que o radicando e o lado direito sejam não-negativos:
  1. x^2+3x+6>0 para todo x (discriminante negativo).
  2. x^2+3x+4>0 para todo x (discriminante 9-16=-7<0).
    Logo, podemos elevar ao quadrado sem restrições extras.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2+3x+6 = l(x^2+3x+4r)^2
Calculamos o quadrado no lado direito:
l(x^2+3x+4r)^2 = x^4+6x^3+17x^2+24x+16
Assim a equação vira
x^2+3x+6 = x^4+6x^3+17x^2+24x+16 ;Longrightarrow; x^4+6x^3+16x^2+21x+10 = 0

Passo 4

Resolvemos o polinômio
x^4+6x^3+16x^2+21x+10 = 0
por tentativa de raízes racionais. Testando x=-1 e x=-2, encontramos que ambos são raízes. A divisão sintética leva ao fator restante x^2+3x+5, que não tem raízes reais (discriminante 9-20<0).
Portanto os candidatos reais são
x=-1, x=-2

Passo 5

Verificamos na equação original:
  • Para x=-1:
raiz(-1)^2+3(-1)+6-3(-1) = raiz1-3+6+3 = raiz4+3 =2+3=5, (-1)^2+4=1+4=5
  • Para x=-2:
raiz(-2)^2+3(-2)+6-3(-2) = raiz4-6+6+6 = raiz4+6 =2+6=8, (-2)^2+4=4+4=8
Ambos satisfazem a equação, sem extraviadas.

Resposta

-2,,-1

Exercícios de Livros Relacionados