Sendo a e b números reais não negativos, resolva e discuta a equação:
raizx+a=raizx+raizb

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
raizx+a=raizx+raizb
onde a>=0 e b>=0. Vamos resolver isolando radicais, elevando ao quadrado e checando o domínio de x.

Passo 2

Para que raizx+a e raizx estejam definidas, é preciso
x+a>=0
e
x>=0
Como a>=0, basta ter x>=0.

Passo 3

Elevando ao quadrado no domínio x>=0, obtemos
x + a = l(raizx+raizbr)^2 = x + b + 2raizb,x,
logo
a - b = 2raizb,x

Passo 4

Analisando o caso b=0, a igualdade fica a=0.
Se a=0, a equação original reduz-se a raizx=raizx, verdadeira para todo x>=0, logo há infinitas soluções.
Se a>0, não há solução, pois o lado esquerdo seria a>0 e o direito zero.

Passo 5

Agora considere b>0. O termo raizb,x é não negativo, então é necessário a-b>=0, ou seja a>= b.
  • Se a< b, não há solução.
  • Se a>= b, isolamos
raizb,x = a-b2
e, elevando ao quadrado,
x = (a-b)^24b

Resposta

Para b=0:
bul<=t Se a=0, todas as x>=0 são soluções.
bul<=t Se a>0, não há solução.
Para b>0:
bul<=t Se a< b, não há solução.
bul<=t Se a>= b, a única solução é
x = (a-b)^24b

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