Resolva, em R, as equações:
raiz4 x+1-raizx-2=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raiz4x+1;-;raizx-2;=;3
no conjunto R. Trata-se de uma equação com radicais, então vamos (i) determinar o domínio onde os radicandos existem, (ii) isolar um radical, (iii) elevar ao quadrado para eliminar a raiz e (iv) verificar possíveis soluções extraviadas.

Passo 2

Para que ambos radicandos sejam reais, precisamos de
4x+1>=0 Longrightarrow x>= -tfrac14
e
x-2>=0 Longrightarrow x>=2
Assim, o domínio de interesse é x>=2.

Passo 3

No domínio x>=2 podemos reescrever a equação como
raiz4x+1 ;=;raizx-2 ;+;3,
de modo a isolar o radical raiz4x+1.

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado (cuidado com raízes extraviadas), obtemos
4x+1 = l(raizx-2+3r)^2 = (x-2) + 6raizx-2 +9 = x +7 +6raizx-2
Subtraindo x+7 de cada lado resulta em
3x -6 = 6raizx-2

Passo 5

Dividindo por 3 e deixando t = raizx-2>=0, a equação vira
x-2 = 2raizx-2 Longrightarrow t^2 = 2t Longrightarrow t(t-2)=0
Logo t=0 ou t=2. Como t^2 = x-2, temos as possibilidades
t=0;Longrightarrow;x-2=0;Longrightarrow;x=2,
t=2;Longrightarrow;x-2=4;Longrightarrow;x=6

Passo 6

Substituindo x=2 na equação original:
raiz4cdot2+1-raiz2-2 = raiz9-0 = 3,
logo x=2 é válido.
Substituindo x=6:
raiz4cdot6+1-raiz6-2 = raiz25-2 = 5-2 = 3,
logo x=6 também é válido. Ambas as soluções atendem à equação sem introduzir inconsistências.

Resposta

As soluções em R são x=2 e x=6.

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