Resolva, em R, as equações:
raizx-raizx-raiz1-x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raizx;-;raizx-raiz1-x;=;1
O conteúdo envolvido é equações com radicais: primeiro temos que determinar o domínio de validade das raízes e depois isolar uma delas para tentar resolver a igualdade, tomando cuidado com soluções extraviadas ao elevar ambos os lados ao quadrado.

Passo 2

Impondo que tudo esteja bem definido, precisamos de
x>=0, 1-x>=0, x-raiz1-x>=0
As duas primeiras dão
0<= x<=1
Para a terceira, note que raiz1-x>=0, logo exigir raiz1-x<= x e, como x>=0, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
1-x <= x^2 Longrightarrow x^2 + x - 1 >= 0
As raízes de x^2 + x - 1=0 são -1pmraiz52, e na região x>=0 isso impõe
x >= -1+raiz52approx0,618
Combinando, o domínio é
-1+raiz52;<=;x;<=;1

Passo 3

Voltando à equação, isolamos a segunda raiz:
raizx-raiz1-x =;raizx;-;1
Para que o lado direito seja válido como raiz (não negativo), precisamos de
raizx-1>=0 Longrightarrow x>=1
Mas pelo domínio já temos x<=1. Logo a única possibilidade é
x=1

Passo 4

Verificamos x=1 na equação original:
raiz1-raiz,1-raiz1-1, =1-raiz1-0 =1-1 =0neq1
Portanto x=1 não satisfaz a equação.

Passo 5

Como não há nenhum outro x no domínio capaz de tornar raizx-1>=0 e, ao mesmo tempo, satisfazer a igualdade, concluímos que não existem soluções reais.

Resposta

Não há solução em R.

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