Resolva a equação raiz[3]x+1-raiz[3]x-6=1, em R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]x+1;-;raiz[3]x-6;=;1
Trata-se de uma equação com raízes cúbicas (função ímpar e crescente em todo R). A estratégia será isolar expressões, fazer uma substituição para simplificar e usar a identidade de diferença de cubos.

Passo 2

Definimos
a = raiz[3]x+1, b = raiz[3]x-6,
de modo que a equação vire
a - b = 1,
e sabemos também que
a^3 = x+1, b^3 = x-6

Passo 3

Usamos a identidade de diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + ab + b^2)
Como a-b=1 e
a^3 - b^3 = (x+1) - (x-6) = 7,
segue que
1cdotl(a^2 + ab + b^2r) = 7
Substituindo a = b+1 obtemos
(b+1)^2 + b(b+1) + b^2 = 7 ;Longrightarrow; 3b^2 + 3b + 1 = 7 ;Longrightarrow; b^2 + b - 2 = 0
As soluções dessa quadrática são
b = 1 ou b = -2

Passo 4

Para cada valor de b achamos x:
  • Se b = 1, então b^3 = 1 = x - 6, logo x = 7.
  • Se b = -2, então b^3 = -8 = x - 6, logo x = -2.
    Verificamos rapidamente:
x=7:;raiz[3]8-raiz[3]1=2-1=1, x=-2:;raiz[3]-1-raiz[3]-8=-1-(-2)=1

Resposta

As soluções reais são x=-2 e x=7.

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