Resolva, em R, as equações:
raizx-4+raizx+24=14

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação com radicais
raizx-4 ;+;raizx+24 ;=; 14
O conteúdo principal é o manejo de equações envolvendo raízes quadradas: primeiro determinamos o domínio e depois usamos uma técnica de substituição ou diferença de quadrados para evitar extrair raiz duas vezes.

Passo 2

Para que ambas as raízes estejam definidas em R, precisamos ter
x-4 >= 0 e x+24 >= 0,
isto é,
x >= 4
Portanto, só procuramos soluções com x>=4.

Passo 3

Definimos
a = raizx-4, b = raizx+24
Então a equação original vira
a + b = 14
Além disso, note que
b^2 - a^2 = (x+24) - (x-4) = 28
Usando a fatoração da diferença de quadrados,
(b-a)(b+a) = 28 Longrightarrow (b-a)cdot 14 = 28 Longrightarrow b - a = 2
Ficamos com o sistema
a + b = 14, b - a = 2

Passo 4

Somando as duas equações do sistema obtemos
2b = 16 Longrightarrow b = 8,
e a seguir
a = 14 - b = 14 - 8 = 6
Voltando às definições,
raizx+24 = b = 8 Longrightarrow x + 24 = 64 Longrightarrow x = 40
Para conferir, em x=40 temos
raiz40-4 + raiz40+24 = raiz36 + raiz64 = 6 + 8 = 14,
que satisfaz a equação e está no domínio x>=4.

Resposta

40

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