Resolva, em R, as equações:
raiz[3]3 x-1=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a equação com raiz cúbica
raiz[3]3x-1 = 2x - 1
O conteúdo aqui é manipular igualdade envolvendo raiz cúbica e depois resolver um polinômio resultante. A ideia é elevar ambos os lados ao cubo, já que a função raiz cúbica é bijetora em R.

Passo 2

Elevamos ambos os lados ao cubo, preservando a equivalência para números reais:
l(raiz[3]3x-1r)^3 = (2x-1)^3 Longrightarrow 3x - 1 = (2x-1)^3

Passo 3

Expandimos o cubo do binômio no lado direito:
(2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1
Substituindo em 3x - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 e simplificando, obtemos
8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - (3x - 1) = 0 ;Longrightarrow; 8x^3 - 12x^2 + 3x = 0

Passo 4

Fatoramos o polinômio:
8x^3 - 12x^2 + 3x = x,(8x^2 - 12x + 3) = 0
Daí temos uma raiz trivial x=0 e as raízes da equação quadrática
8x^2 -12x +3 = 0,
cujo discriminante é
De<a = (-12)^2 -4cdot8cdot3 = 144 -96 =48
Portanto
x = 12 pm raiz4816 = 12 pm 4raiz316 = 3 pm raiz34

Passo 5

Verificamos rapidamente que todas as três soluções satisfazem a equação original (não surgem extranos pois a aplicação da função cúbica é reversível em R). Logo as soluções em R são
x = 0, x = 3 - raiz34, x = 3 + raiz34

Resposta

x = 0,;x = 3 - raiz34,;x = 3 + raiz34

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