Resolva, em R times R, o sistema de equações:
lx+y=72 raiz[3]x+raiz[3]y=6

Passo 1

O enunciado pede as soluções em
O conteúdo que vamos usar é a mudança de variável e a identidade de soma de cubos:

Passo 2

Fazendo x = a^3 e y = b^3, o sistema vira
a + b = 6, a^3 + b^3 = 72
Aplicamos a identidade de soma de cubos:
a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab,(a+b)

Passo 3

Como a+b=6, temos (a+b)^3 = 6^3 = 216. Logo,
a^3 + b^3 = 216 - 3ab cdot 6 = 216 - 18ab
Essa expressão deve ser igual a 72, então
216 - 18ab = 72 Longrightarrow 18ab = 144 Longrightarrow ab = 8

Passo 4

Agora a e b são raízes do polinômio
t^2 - (a+b),t + ab = 0 Longrightarrow t^2 - 6t + 8 = 0
Resolvendo,
t = 2 ou t = 4
Portanto (a,b) é (2,4) ou (4,2).

Passo 5

Voltando a x = a^3 e y = b^3, obtemos as soluções
(x,y) = (2^3,4^3) = (8,64) ou (x,y) = (4^3,2^3) = (64,8)

Resposta

(x,y) = (8,64)ou(64,8)

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