Resolva, em R, as equações:
raiz[3]1+raizx+raiz[3]1-raizx=raiz[3]5

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]1+raizx+raiz[3]1-raizx=raiz[3]5
O conteúdo principal envolve manipular soma de raízes cúbicas e usar a identidade
(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)
Também vamos precisar cuidar do domínio, que exige raizx real.

Passo 2

Determinamos o domínio da equação. Como aparece raizx, precisamos de
x>=0

Passo 3

Definimos
u=raiz[3]1+raizx, v=raiz[3]1-raizx
Então a equação fica
u+v=raiz[3]5

Passo 4

Aplicamos a identidade do cubo da soma:
(u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3,uv,(u+v)
Aqui temos
u^3+v^3 = (1+raizx)+(1-raizx)=2,
e
uv = raiz[3](1+raizx)(1-raizx) = raiz[3]1 - x
Como u+v=raiz[3]5, elevando ao cubo obtemos
(raiz[3]5)^3 = 2 + 3,raiz[3]1-x,raiz[3]5
Isto é,
5 = 2 + 3,raiz[3]1-x,raiz[3]5

Passo 5

Isolamos raiz[3]1-x:
5-2 = 3,raiz[3]1-x,raiz[3]5 Longrightarrow 3 = 3,raiz[3]1-x,raiz[3]5 Longrightarrow 1 = raiz[3]1-x,raiz[3]5
Logo
raiz[3]1-x = 1raiz[3]5 = raiz[3]tfrac15

Passo 6

Elevando ambos os lados ao cubo, temos
1-x = tfrac15 Longrightarrow x = 1 - tfrac15 = tfrac45
Verificamos que tfrac45>=0, logo está no domínio, e não gera contradições.

Resposta

A única solução real é
x = tfrac45

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