Resolva, em R, as equações:
x+raizx^2+16=40raizx^2+16

Passo 1

O enunciado nos pede resolver em R a equação
x + raizx^2+16 ;=;40raizx^2+16
Aqui temos um radical tanto no numerador quanto no denominador, então vamos usar substituição para tratar raizx^2+16, multiplicar para eliminar o denominador, elevar ao quadrado para eliminar a raiz e por fim verificar as soluções obtidas.

Passo 2

Definimos
t = raizx^2+16
Como raizcdot dá sempre um valor não negativo, temos t>0 e também t^2=x^2+16. Substituindo na equação original surge
x + t = 40t

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por t (positivo, logo não inverte sinal):
x,t + t^2 = 40
Agora usamos t^2=x^2+16 para reescrever:
x,t + (x^2+16) = 40 Longrightarrow x,t + x^2 - 24 = 0 Longrightarrow x,t = 24 - x^2

Passo 4

Para eliminar a raiz, elevamos ao quadrado a relação x,t = 24 - x^2:
(x,t)^2 = (24 - x^2)^2 Longrightarrow x^2,t^2 = (24 - x^2)^2
Substituindo t^2=x^2+16 obtemos
x^2(x^2+16) = (24 - x^2)^2
Expandindo e simplificando:
x^4 + 16x^2 = x^4 - 48x^2 + 576 Longrightarrow 64x^2 - 576 = 0 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 3

Passo 5

Precisamos verificar cada candidato em
x + raizx^2+16 = tfrac40raizx^2+16.
  • Para x=3: raiz3^2+16=5, então 3+5=8 e 40/5=8. OK.
  • Para x=-3: raiz(-3)^2+16=5, então -3+5=2 mas 40/5=8. Não bate, é extraneous.

Resposta

A única solução em R é x = 3.

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