Resolva os problemas de valor inicial:
(m)

Passo 1

O problema é o valor inicial
y''+4y'+13y = f(t), y(0)=1,;y'(0)=2,
com
f(t)= e^-2tsin3t, &0<= t<pi, 0, &t>=pi
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em partes. Para resolver faremos:
1 achar a solução geral homogênea yh,
2 achar uma particular yp para 0<= t<pi via método do operador (anulador),
3 aplicar as condições iniciais em t=0 para determinar constantes, obtendo y1(t) em [0,pi),
4 para t>=pi o forçamento vanisca e a solução é homogênea com condições de continuidade em t=pi.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+4y'+13y=0
tiramos a equação característica
r^2+4r+13=0;Longrightarrow;r=-2pm3i
Logo
yh(t)=e^-2tl(Acos3t + Bsin3tr)

Passo 3

Para 0<= t<pi temos forçamento f(t)=e^-2tsin3t. Note que e^-2tsin3t gera ressonância (é solução da homogênea). Usamos o operador
p(D)=D^2+4D+13, p(D)[e^-2tu]=e^-2t(D^2+9)u
Queremos p(D)[y]=e^-2tsin3t. Logo se y=e^-2tu então
u''+9u=sin3t,
que por ressonância tem particular
up(t)=-tfract6cos3t
Assim
yp(t)=-tfract6e^-2tcos3t, 0<= t<pi

Passo 4

A solução geral em [0,pi) é
y1(t)=yh+yp =e^-2tl(Acos3t + Bsin3tr);-;tfract6e^-2tcos3t
Aplicamos y1(0)=1, y1'(0)=2.
Em t=0:
y1(0)=A-0=1;Longrightarrow;A=1
Calculando y1'(t) e avaliando em t=0 (detalhes omitidos mas seguem diferenciação direta), obtemos
y1'(0)=-2A+3B-tfrac16=-2+3B-tfrac16=2 ;Longrightarrow;3B=tfrac256 ;Longrightarrow;B=tfrac2518

Passo 5

Logo, para

Passo 6

Para t>=pi temos f(t)=0 e a equação volta à homogênea. Definimos s=t-pi e escrevemos
y2(t) =e^-2sl(Ccos3s + Dsin3sr), s=t-pi
As constantes C,D são fixadas impondo a continuidade de y e y' em t=pi:
y2(pi)=y1(pi), y2'(pi)=y1'(pi)

Passo 7

Calculamos em t=pi (ou s=0)
y1(pi) =e^-2pil(-1+tfracpi6r), y1'(pi) =e^-2pil(-2-tfracpi3r)
Como y2(pi)=C e y2'(pi)=-2C+3D, igualamos:
C=e^-2pil(-1+tfracpi6r), -2C+3D=e^-2pil(-2-tfracpi3r)
Daí
D=-tfrac43,e^-2pi

Passo 8

Substituindo de volta com , para :
ou, simplificando :

Resposta

Para 0<= t<pi:
y(t) =e^-2tl(cos3t+tfrac2518sin3tr) -tfract6,e^-2tcos3t
Para t>=pi:
y(t) =e^-2tl[l(-1+tfracpi6r)cos3(t-pi) -tfrac43sin3(t-pi)r]

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