O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em partes. Para resolver faremos: 1 achar a solução geral homogênea yh, 2 achar uma particular yp para 0<= t<pi via método do operador (anulador), 3 aplicar as condições iniciais em t=0 para determinar constantes, obtendo y1(t) em [0,pi), 4 para t>=pi o forçamento vanisca e a solução é homogênea com condições de continuidade em t=pi.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
y''+4y'+13y=0
tiramos a equação característica
r^2+4r+13=0;Longrightarrow;r=-2pm3i
Logo
yh(t)=e^-2tl(Acos3t + Bsin3tr)
Passo 3
Para 0<= t<pi temos forçamento f(t)=e^-2tsin3t. Note que e^-2tsin3t gera ressonância (é solução da homogênea). Usamos o operador
p(D)=D^2+4D+13, p(D)[e^-2tu]=e^-2t(D^2+9)u
Queremos p(D)[y]=e^-2tsin3t. Logo se y=e^-2tu então