Resolva a relação de recorrência a_{n}=6 a_{n-1}-12 a_{n-2}+ 8 a_{n-3}, \operatorname{com} a_{0}=-5, a_{1}=4 e a_{2}=88.

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência
a_{n} = 6\,a_{n-1} \;-\;12\,a_{n-2} \;+\;8\,a_{n-3}
com condições iniciais a_{0}=-5, a_{1}=4 e a_{2}=88.
Este é um caso de recorrência linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos resolver usando o polinômio característico.

Passo 2

Assumimos a_{n}=\lambda^{n} e obtemos o polinômio característico
\lambda^{3} -6\lambda^{2} +12\lambda -8 = 0.

Passo 3

Note que
\lambda^{3} -6\lambda^{2} +12\lambda -8 = (\lambda -2)^{3},
logo há uma raiz \lambda=2 de multiplicidade 3. Para uma raiz tripla, a solução geral é da forma
a_{n} = (\alpha + \beta\,n + \gamma\,n^{2})\,2^{n},
onde \alpha, \beta e \gamma são constantes a determinar.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais na forma geral:
Em n=0:
a_{0} = (\alpha + \beta\cdot0 + \gamma\cdot0)\,2^{0} = \alpha = -5.
Em n=1:
a_{1} = (\alpha + \beta + \gamma)\,2^{1} = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 4.
Em n=2:
a_{2} = (\alpha + 2\beta + 4\gamma)\,2^{2} = 4(\alpha+2\beta+4\gamma) = 88.

Passo 5

Substituindo \alpha=-5\) nas outras equações: De \(2(\alpha+\beta+\gamma)=4\) vem \[\alpha + \beta + \gamma = 2 \quad\Longrightarrow\quad -5 + \beta + \gamma = 2 \quad\Longrightarrow\quad \beta + \gamma = 7.
De 4(\alpha+2\beta+4\gamma)=88 vem
\alpha + 2\beta + 4\gamma = 22 \quad\Longrightarrow\quad -5 + 2\beta + 4\gamma = 22 \quad\Longrightarrow\quad 2\beta + 4\gamma = 27 \quad\Longrightarrow\quad \beta + 2\gamma = 13{,}5.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} \beta + \gamma = 7,\\\ \beta + 2\gamma = 13{,}5, \end{cases}
temos \gamma = 6{,}5\] e \(\beta = 0{,}5.

Passo 6

Assim \alpha=-5, \beta=\tfrac12 e \gamma=\tfrac{13}{2}. A solução geral fica
a_{n} = \bigl(-5 + \tfrac12\,n + \tfrac{13}{2}\,n^{2}\bigr)\,2^{n}.
Podemos reescrever esse polinômio como
-5 + \tfrac12\,n + \tfrac{13}{2}\,n^{2} = \tfrac{13n^{2} + n -10}{2},
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a_{n} = \frac{13n^{2} + n - 10}{2}\,2^{n} = \bigl(13n^{2} + n -10\bigr)\,2^{\,n-1}.

Resposta

a_{n} = \bigl(13n^{2} + n - 10\bigr)\,2^{\,n-1}.

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