Resolva a relação de recorrência
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a recorrência
com condições iniciais
,
e
.
Este é um caso de recorrência linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos resolver usando o polinômio característico.
Este é um caso de recorrência linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos resolver usando o polinômio característico.
Passo 2
Assumimos
e obtemos o polinômio característico
Passo 3
Note que
logo há uma raiz
de multiplicidade 3. Para uma raiz tripla, a solução geral é da forma
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais na forma geral:
Em :
Em
Em
:
Em
:
Passo 5
Substituindo
De
vem
Resolvendo o sistema
temos
.
Passo 6
Assim
,
e
. A solução geral fica
Podemos reescrever esse polinômio como
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