Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n}=a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=5, a_{1}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência
a_{n} = a_{n-2}, \quad n\ge2,
com as condições iniciais a_{0}=5 e a_{1}=-1.
Este é um caso de recorrência linear homogênea com coeficientes constantes e defasagem 2. Vamos usar o polinômio característico para obter a solução geral e depois ajustar às condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado a
a_{n} - a_{n-2} = 0:
r^{2} - 1 = 0.
As raízes são
r_{1}=1 \quad\text{e}\quad r_{2}=-1.

Passo 3

Para raízes distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral é
a_{n} = \alpha\,r_{1}^{n} + \beta\,r_{2}^{n} = \alpha\cdot1^{n} + \beta\cdot(-1)^{n} = \alpha + \beta(-1)^{n}.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para encontrar \alpha e \beta.
Para n=0:
a_{0} = \alpha + \beta = 5.
Para n=1:
a_{1} = \alpha + \beta(-1) = \alpha - \beta = -1.
Somando as duas equações:
(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 5 + (-1) \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha = 4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2.
Então
\beta = 5 - \alpha = 5 - 2 = 3.

Passo 5

Substituindo \alpha e \beta na solução geral, obtemos
a_{n} = 2 + 3(-1)^{n}.
Em particular, isso confirma que a_{n}=5 para n par e a_{n}=-1 para n ímpar.

Resposta

a_{n} = 2 + 3(-1)^{n}.

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