Resolva as seguintes equações:
d^2 xd t^2=3 d xd t-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes
d^2xdt^2 = 3,dxdt - 2,x
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico para ODEs homogêneas de coeficientes constantes.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
d^2xdt^2 - 3,dxdt + 2,x = 0

Passo 3

Procuramos soluções do tipo
x(t) = e^r t,
onde r é uma constante a determinar.

Passo 4

Substituindo x(t)=e^rt na forma padrão resulta na equação característica
r^2 - 3,r + 2 = 0
Resolvendo-a, fatoramos
(r-1)(r-2)=0
e obtemos as raízes
r1=1, r2=2

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da ODE é
x(t) = C1,e^t + C2,e^2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t) = C1,e^t + C2,e^2t

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