Resolva as seguintes equações com as condições iniciais:
d xd t=x+t^3 com x(2)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dxdt = x + t^3
com condição inicial x(2)=1.
Este é um caso de equação linear da forma
dxdt + p(t),x = g(t),
onde vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão
dxdt - x = t^3,
vemos que p(t) = -1. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1,dt = e^-t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^-t:
e^-tdxdt - e^-tx = t^3e^-t
O lado esquerdo é a derivada de e^-tx, pois
ddtl(e^-txr) = e^-tdxdt - e^-tx
Logo
ddtl(e^-txr) = t^3e^-t

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t:
e^-tx = integral t^3e^-t,dt + C
Fazendo integração por partes em integral t^3e^-tdt (ou usando a regra de tabulação), obtém-se
integral t^3e^-tdt = -e^-tl(t^3+3t^2+6t+6r) + C1
Assim
e^-tx = -e^-tl(t^3+3t^2+6t+6r) + C

Passo 5

Isolando x e reescrevendo a constante:
x(t) = -l(t^3+3t^2+6t+6r) + Ce^t
Usamos x(2)=1:
1 = -l(2^3+3cdot2^2+6cdot2+6r) + C e^2 = -38 + C e^2
de onde
C e^2 = 39 Longrightarrow C = 39e^-2

Resposta

boxedx(t) = -l(t^3+3t^2+6t+6r) + 39,e^,t-2

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