Resolva as seguintes equações com as condições iniciais:
d xd t=-x+sen(t) com x(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dxdt = -x + sin(t),
com condição inicial x(0)=1.
Isso é um caso clássico de equação linear de coeficientes não constantes, e vamos aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dxdt + x = sin(t)
Aqui o coeficiente de x é p(t)=1.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t)=e^t, obtemos
e^tdxdt + e^t x = e^tsin(t),
ou seja
ddtl(e^t xr) = e^tsin(t)
Agora integramos em t:
integral ddtl(e^t xr),dt = integral e^tsin(t),dt Longrightarrow e^t x = integral e^ssin(s),ds + C
Para a integral indeterminada usamos a fórmula
integral e^ssin(s),ds = 12e^sl(sin(s)-cos(s)r),
ficando
e^t x = 12e^tl(sin t - cos tr) + C

Passo 5

Usamos a condição inicial x(0)=1. Em t=0:
e^0cdot 1 = 12e^0l(sin0 - cos0r) + C Longrightarrow 1 = 12(0 - 1) + C Longrightarrow C = 32

Passo 6

Substituindo C na expressão e isolando x, temos
e^t x = 12e^tl(sin t - cos tr) + 32 Longrightarrow x(t) = 12l(sin t - cos tr) + 32e^-t

Resposta

x(t) = 12l(sin t - cos tr) + 32e^-t

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