Resolva as seguintes equações:
d^2 xd t^2=2 d xd t-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2xdt^2 = 2,dxdt - x
O método padrão é assumir uma solução do tipo ,x(t)=e^r t, pois assim conseguimos transformar a ODE numa equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo x(t)=e^r t na equação, temos
d^2dt^2(e^r t) = r^2e^r t, ddt(e^r t) = r,e^r t,
logo a ODE vira
r^2e^r t = 2,r,e^r t - e^r t
Cancelando o fator comum e^r tneq0, obtemos a equação característica em r:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

A equação
r^2 - 2r + 1 = 0
é um quadrado perfeito, pois
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
e tem raiz dupla r=1. Para uma raiz dupla em ODEs lineares, a solução geral é
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^r t,
onde C1 e C2 são constantes de integração e r=1.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Exercícios de Livros Relacionados