Estudos sobre uma epidemia que atinge uma cidade de 40.000 pessoas mostram que a taxa de aumento no número de pessoas infectadas é proporcional ao número presente. Verificase que em 2 horas o número de infectados triplica. Sabendo que a epidemia se iniciou com 10 pessoas, se nenhuma forma de combate à epidemia for encontrada, em quanto tempo toda a população estará infectada?

Solução

Temos que a equação diferencial que modela essa situação é dada por d xd t=ln (raiz3) x, que x(t) é o número de pessoas infectadas em função do tempo em minutos. Resolvendo a equação, vemos que o tempo até toda a cidade estar infectada é de 4000raiz3 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial, pois a taxa de infecção é proporcional ao número de infectados. A cidade tem 40000 habitantes, iniciou com 10 infectados e em 2 horas esse número triplica. Precisamos achar o tempo T (em horas) para que x(T)=40000.

Passo 2

Modelamos por
dxdt = k,x,
onde x(t) é o número de infectados no tempo t (horas) e k é a constante de crescimento.

Passo 3

Como x(t)=x(0)e^k t e x(2)=3,x(0), substituímos x(0)=10 para obter
10,e^2k=3cdot10
e^2k=3
k=ln 32

Passo 4

Queremos T tal que x(T)=40000. Usando x(T)=10e^kT, temos
10,e^ln32T=40000
e^ln32T=4000
ln32,T=ln4000
T=2,ln4000ln3 horas
Numericamente, ln4000approx8,2941 e ln3approx1,0986, então
Tapprox2times8,29411,0986approx15,11 horas

Resposta

Cerca de 15,1 horas (aproximadamente 15 horas e 6 minutos).

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