Estudos sobre uma epidemia que atinge uma cidade de 40.000 pessoas mostram que a taxa de aumento no número de pessoas infectadas é proporcional ao número presente. Verificase que em 2 horas o número de infectados triplica. Sabendo que a epidemia se iniciou com 10 pessoas, se nenhuma forma de combate à epidemia for encontrada, em quanto tempo toda a população estará infectada?
Solução
Temos que a equação diferencial que modela essa situação é dada por
, que
é o número de pessoas infectadas em função do tempo em minutos. Resolvendo a equação, vemos que o tempo até toda a cidade estar infectada é de
minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um crescimento exponencial, pois a taxa de infecção é proporcional ao número de infectados. A cidade tem
habitantes, iniciou com
infectados e em
horas esse número triplica. Precisamos achar o tempo
(em horas) para que
.
Passo 2
Modelamos por
onde
é o número de infectados no tempo
(horas) e
é a constante de crescimento.
Passo 3
Como
e
, substituímos
para obter
Passo 4
Queremos
tal que
. Usando
, temos
Numericamente,
e
, então
Resposta
Cerca de
horas (aproximadamente
horas e
minutos).