Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
d xd t-15 x=e^2 t.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
dxdt - 15x = e^2t
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato
dxdt + p(t),x = g(t)
com p(t)=-15 e g(t)=e^2t. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -15,dt = e^-15t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^-15tdxdt - 15,e^-15tx = e^-15te^2t = e^-13t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de mu(t)x, pois
ddtl(e^-15txr) = e^-15tdxdt - 15,e^-15tx

Passo 4

Integramos ambos os lados em t, chegando a
integral ddtl(e^-15txr),dt = integral e^-13t,dt
o que resulta em
e^-15tx = -113e^-13t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar x, multiplicamos ambos os lados por e^15t, obtendo
x(t) = -113e^-13te^15t + C,e^15t = -113e^2t + C,e^15t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(t) = -113e^2t + C,e^15t

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