Resolva as seguintes equações com as condições iniciais:
d xd t-3 x=e^t com x(1)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de 1ª ordem
dxdt-3x=e^t
com condição inicial x(1)=1. O conteúdo envolvido é resolução de equações lineares de primeira ordem usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
dxdt+p(t),x=g(t)
identificando p(t)=-3 e g(t)=e^t. O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^-3t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t), o que torna o lado esquerdo uma derivada exata:
e^-3tdxdt-3e^-3tx = e^-3te^t Longrightarrow ddtl(e^-3txr)=e^-2t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-3tx = integral e^-2t,dt = -tfrac12,e^-2t+C
Multiplicando por e^3t, obtemos a solução geral
x(t)=-tfrac12,e^t + C,e^3t

Passo 5

Impondo a condição inicial x(1)=1:
-tfrac12,e^1 + C,e^3 = 1 Longrightarrow C = 1 + tfrac12ee^3
Logo, a solução particular é
x(t) = -tfrac12,e^t + 1 + tfrac12ee^3,e^3t

Resposta

x(t) = -12,e^t + 1 + tfrac12ee^3,e^3t

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