Resolva as seguintes equações exponenciais:
4^x+1+4^3-x=257

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
4^x+1 + 4^3-x = 257
O conteúdo aqui é equações com potências de mesma base. Vamos usar substituição para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Observe que 4^x+1 = 4cdot4^x e 4^3-x = 4^3cdot4^-x = 64cdot4^-x. Seja
y = 4^x
Então a equação vira
4y + 64y = 257

Passo 3

Para eliminar o denominador, multiplica-se ambos os lados por y, obtendo-se
4y^2 + 64 = 257,y
Longrightarrow;4y^2 - 257y + 64 = 0

Passo 4

Calculemos o discriminante dessa quadrática:
De<a = (-257)^2 - 4cdot4cdot64 = 66049 - 1024 = 65025,
logo raizDe<a=255. As raízes são
y = 257pm2558,
isto é
y1 = 5128 = 64, y2 = 28 = tfrac14

Passo 5

Voltando à variável x, temos as duas equações
4^x = 64 Longrightarrow x = log4 64 = 3,
4^x = tfrac14 Longrightarrow x = log4 tfrac14 = -1

Resposta

As soluções são
x = 3 e x = -1

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