Resolva as seguintes equações exponenciais:
3^x+2 cdot 9^x243^5 x+1=81^2 x27^3-4 x

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação
3^x+2cdot9^x243^5x+1 ;=; 81^2x27^3-4x
O conteúdo aqui é manipular potências de mesma base usando as propriedades
a^m a^n = a^m+n,
a^ma^n = a^m-n,
(a^m)^n = a^mn,
e o fato de que, se a^A = a^B com a>0 e aneq1, então A=B.

Passo 2

Vamos reescrever todas as bases em potência de 3:
9 = 3^2, 243 = 3^5, 81 = 3^4, 27 = 3^3
Assim a equação vira
3^x+2cdot(3^2)^x(3^5)^5x+1 ;=; (3^4)^2x(3^3)^3-4x

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo:
  • Numerador: 3^x+2cdot3^2x = 3^3x+2.
  • Denominador: (3^5)^5x+1 = 3^25x+5.
    Logo
3^3x+23^25x+5 = 3^(3x+2)-(25x+5) = 3^-22x-3

Passo 4

Simplificando o lado direito:
  • Numerador: (3^4)^2x = 3^8x.
  • Denominador: (3^3)^3-4x = 3^9-12x.
    Logo
3^8x3^9-12x = 3^8x-(9-12x) = 3^20x-9

Passo 5

Agora temos
3^-22x-3 = 3^20x-9
Como a base é a mesma e diferente de 1, igualamos os expoentes:
-22x - 3 = 20x - 9 ;Longrightarrow; -42x = -6 ;Longrightarrow; x = 17

Resposta

x = 17

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