Resolva os seguintes sistemas de congruências simultâneas:
2 x equiv 1(bmod 5), 4 x equiv 1(bmod 7), 5 x equiv 9(bmod 11)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências simultâneas
2x equiv 1 pmod5, 4x equiv 1 pmod7, 5x equiv 9 pmod11
O conteúdo principal é o Teorema Chinês do Resto e inversão de elementos em Zm. Vamos primeiro transformar cada congruência em xequiv aipmodni e depois aplicar o CRT.

Passo 2

Resolvendo
2x equiv 1 pmod5
precisamos do inverso de 2 em Z5. Como
2cdot3 = 6 equiv 1 pmod5,
temos
x equiv 3 pmod5
De modo análogo, para
4x equiv 1 pmod7
o inverso de 4 em Z7 é 2 (pois 4cdot2=8equiv1), logo
x equiv 2 pmod7
Para
5x equiv 9 pmod11
o inverso de 5 em Z11 é 9 (pois 5cdot9=45equiv1), de onde
x equiv 9cdot9 = 81 equiv 4 pmod11

Passo 3

Agora temos o sistema reduzido
xequiv3pmod5, xequiv2pmod7
Escrevendo x=5a+3 e impondo
5a+3equiv2pmod7 Longrightarrow 5aequiv-1equiv6pmod7
Multiplicando pelo inverso de 5 em Z7, que é 3, obtém-se
aequiv3cdot6=18equiv4pmod7
Logo a=7t+4 e
x=5(7t+4)+3=35t+23,
ou seja
xequiv23pmod35

Passo 4

Falta combinar
xequiv23pmod35, xequiv4pmod11
Escrevendo x=35k+23 e exigindo
35k+23equiv4pmod11 Longrightarrow 35kequiv4-23=-19equiv3pmod11
Como 35equiv2pmod11, temos
2kequiv3pmod11
O inverso de 2 em Z11 é 6, logo
kequiv6cdot3=18equiv7pmod11
Assim k=11t+7 e
x=35(11t+7)+23=385t+268,
portanto
xequiv268pmod385

Resposta

A solução geral do sistema é
xequiv268pmod385

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