Prove que
é múltiplo de 30 , para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
, o produto
é múltiplo de 30. Como
, basta provar que esse produto é divisível por 2, por 3 e por 5, usando argumentos de aritmética modular.
Passo 2
Divisibilidade por 2. Se pelo menos um entre
e
for par, então
é par e o produto todo é múltiplo de 2. Caso contrário, ambos são ímpares, então
e
Logo, neste caso
é par, e o produto também é múltiplo de 2.
Passo 3
Divisibilidade por 3. Se
ou
, então
é múltiplo de 3. Caso contrário,
módulo 3, de modo que
Então
e o fator
garante a divisibilidade por 3.
Passo 4
Divisibilidade por 5. Se
ou
, então
é múltiplo de 5. Senão,
módulo 5, e seus quadrados valem
. Se
, então
Se
, então
e
Em qualquer caso, um dos fatores
ou
é múltiplo de 5.
Resposta
Como mostramos divisibilidade por 2, por 3 e por 5, concluímos que
é múltiplo de
.