Prove que a b(a^2+b^2)(a^2-b^2) é múltiplo de 30 , para quaisquer a, b in Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a,b, o produto
a,b,(a^2+b^2),(a^2-b^2)
é múltiplo de 30. Como 30=2cdot3cdot5, basta provar que esse produto é divisível por 2, por 3 e por 5, usando argumentos de aritmética modular.

Passo 2

Divisibilidade por 2. Se pelo menos um entre a e b for par, então a,b é par e o produto todo é múltiplo de 2. Caso contrário, ambos são ímpares, então
a^2equiv1pmod2, b^2equiv1pmod2
e
a^2+b^2equiv1+1equiv0pmod2
Logo, neste caso (a^2+b^2) é par, e o produto também é múltiplo de 2.

Passo 3

Divisibilidade por 3. Se aequiv0pmod3 ou bequiv0pmod3, então a,b é múltiplo de 3. Caso contrário, a,binpm1 módulo 3, de modo que
a^2equiv b^2equiv1pmod3
Então
a^2-b^2equiv1-1equiv0pmod3,
e o fator (a^2-b^2) garante a divisibilidade por 3.

Passo 4

Divisibilidade por 5. Se aequiv0pmod5 ou bequiv0pmod5, então a,b é múltiplo de 5. Senão, a,binpm1,pm2 módulo 5, e seus quadrados valem 1,4. Se a^2equiv b^2pmod5, então
a^2-b^2equiv0pmod5
Se a^2notequiv b^2pmod5, então a^2,b^2=1,4 e
a^2+b^2equiv1+4equiv0pmod5
Em qualquer caso, um dos fatores (a^2-b^2) ou (a^2+b^2) é múltiplo de 5.

Resposta

Como mostramos divisibilidade por 2, por 3 e por 5, concluímos que
a,b,(a^2+b^2),(a^2-b^2)
é múltiplo de 2cdot3cdot5=30.

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