1. Encontre uma solução para cada uma das equações diofantinas:
    a) 3 x+5 y+6 z=4
    b) 100 x+72 y+90 z=11
    c) 31 x+49 y-22 z=2
    d) 120 x+84 y+144 z=60
  2. Dê uma interpretação geométrica, em termos de coordenadas cartesianas, para o fato de que uma equação diofantina linear em duas incógni* tas quando admite uma soluçāo, admite infinitas.

Passo 1

O exercício 260 pede uma solução inteira para cada uma das equações diofantinas lineares em três variáveis
3x+5y+6z=4, 100x+72y+90z=11, 31x+49y-22z=2, 120x+84y+144z=60,
sabendo que uma condição necessária e suficiente para existência de solução é que o máximo divisor comum dos coeficientes divida o termo independente.
O exercício 261 pede uma interpretação geométrica do fato de que uma equação diofantina linear em duas variáveis, quando admite uma solução, admite infinitas. Vamos usar coordenadas cartesianas e ver o lugar geométrico dessa reta.

Passo 2

Teoria geral para 260:
  1. Calculo d = gcd(a,b,c) para a equação ax+by+cz = k.
  2. Se d nmid k, não há solução inteira.
  3. Se d mid k, basta encontrar uma solução particular (por ex. fixar dois dos três parâmetros) e resolver para o terceiro.

Passo 3

Equação (a):
3x + 5y + 6z = 4
Aqui gcd(3,5,6)=1 e 1mid4, logo existe solução. Tomamos z=0 e escolhemos y=-1. Então
3x + 5(-1) = 4 ;Longrightarrow; 3x = 9 ;Longrightarrow; x = 3
Uma solução é (x,y,z) = (3,-1,0).

Passo 4

Equação (b):
100x + 72y + 90z = 11
Calculamos gcd(100,72,90)=2, mas 2nmid11. Portanto não existe solução inteira para esta equação.

Passo 5

Equação (c):
31x + 49y -22z = 2
Temos gcd(31,49,22)=1 e 1mid2. Para achar uma solução, basta fixar z=0 e resolver
31x + 49y = 2
Tomando y=7 fica
31x + 49cdot7 = 2 ;Longrightarrow; 31x + 343 =2 ;Longrightarrow; 31x = -341 ;Longrightarrow; x = -11
Uma solução é (x,y,z)=(-11,7,0).

Passo 6

Equação (d):
120x + 84y +144z = 60
Aqui gcd(120,84,144)=12 e 12mid60. Dividindo tudo por 12 obtemos
10x + 7y +12z = 5
Fixamos z=0 e resolvemos
10x + 7y = 5
Escolhendo y=5
10x + 7cdot5 = 5 ;Longrightarrow; 10x +35 =5 ;Longrightarrow; 10x = -30 ;Longrightarrow; x = -3
Uma solução é (x,y,z)=(-3,5,0).

Passo 7

Interpretação geométrica (questão 261):
Uma equação diofantina linear em duas variáveis
ax + by = c
define uma reta em R^2. Os pares inteiros (x,y) que satisfazem a equação são exatamente os pontos de grade (lattice points) em que essa reta intercepta a malha Z^2. Se a reta passa por pelo menos um ponto de Z^2, então, como seu coeficiente angular -a/b é racional sempre que a e b são inteiros, ela intersecta a grade em infinitos pontos distribuídos a intervalos regulares. Por isso, uma vez encontrada uma única solução inteira, basta “andar” sobre a reta em passos proporcionais a (b/d,,-a/d) (onde d=gcd(a,b)) para gerar infinitas soluções.

Resposta

(a) Uma solução é (3,-1,0).
(b) Não existe solução inteira, pois gcd(100,72,90)=2nmid11.
(c) Uma solução é (-11,7,0).
(d) Uma solução é (-3,5,0).
261) Geometricamente, ax+by=c é uma reta em R^2 e os pontos inteiros sobre ela formam uma “grade” infinita de soluções sempre que existe pelo menos um ponto de Z^2 sobre essa reta.

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