- Encontre uma solução para cada uma das equações diofantinas:
a)
b)
c)
d)
- Dê uma interpretação geométrica, em termos de coordenadas cartesianas, para o fato de que uma equação diofantina linear em duas incógni* tas quando admite uma soluçāo, admite infinitas.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O exercício 260 pede uma solução inteira para cada uma das equações diofantinas lineares em três variáveis
sabendo que uma condição necessária e suficiente para existência de solução é que o máximo divisor comum dos coeficientes divida o termo independente.
O exercício 261 pede uma interpretação geométrica do fato de que uma equação diofantina linear em duas variáveis, quando admite uma solução, admite infinitas. Vamos usar coordenadas cartesianas e ver o lugar geométrico dessa reta.
O exercício 261 pede uma interpretação geométrica do fato de que uma equação diofantina linear em duas variáveis, quando admite uma solução, admite infinitas. Vamos usar coordenadas cartesianas e ver o lugar geométrico dessa reta.
Passo 2
Teoria geral para 260:
- Calculo
para a equação . - Se
, não há solução inteira. - Se
, basta encontrar uma solução particular (por ex. fixar dois dos três parâmetros) e resolver para o terceiro.
Passo 3
Equação (a):
Aqui
e
, logo existe solução. Tomamos
e escolhemos
. Então
Uma solução é
.
Passo 4
Equação (b):
Calculamos
, mas
. Portanto não existe solução inteira para esta equação.
Passo 5
Equação (c):
Temos
e
. Para achar uma solução, basta fixar
e resolver
Tomando
fica
Uma solução é
.
Passo 6
Equação (d):
Aqui
e
. Dividindo tudo por
obtemos
Fixamos
e resolvemos
Escolhendo
dá
Uma solução é
.
Passo 7
Interpretação geométrica (questão 261):
Uma equação diofantina linear em duas variáveis
Uma equação diofantina linear em duas variáveis
define uma reta em
. Os pares inteiros
que satisfazem a equação são exatamente os pontos de grade (lattice points) em que essa reta intercepta a malha
. Se a reta passa por pelo menos um ponto de
, então, como seu coeficiente angular
é racional sempre que
e
são inteiros, ela intersecta a grade em infinitos pontos distribuídos a intervalos regulares. Por isso, uma vez encontrada uma única solução inteira, basta “andar” sobre a reta em passos proporcionais a
(onde
) para gerar infinitas soluções.
Resposta
(a) Uma solução é
.
(b) Não existe solução inteira, pois .
(c) Uma solução é .
(d) Uma solução é .
261) Geometricamente, é uma reta em
e os pontos inteiros sobre ela formam uma “grade” infinita de soluções sempre que existe pelo menos um ponto de
sobre essa reta.
(b) Não existe solução inteira, pois
(c) Uma solução é
(d) Uma solução é
261) Geometricamente,