Resolva o sistema algebricamente. O resultado pode ser verificado graficamente.
x^{2}+y^{2}=9
x-3 y=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema formado por uma circunferência de raio 3 centrada na origem e uma reta, ou seja
\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 9,\\\ x - 3y = -1. \end{cases}
O método mais direto é isolar uma variável na equação da reta e fazer substituição na equação da circunferência, resultando numa equação quadrática em y.

Passo 2

Isolamos x na equação da reta:
x - 3y = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = 3y - 1.

Passo 3

Substituímos x = 3y - 1 na equação da circunferência:
(3y - 1)^{2} + y^{2} = 9.
Expandindo e juntando termos, temos
9y^{2} - 6y + 1 + y^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad 10y^{2} - 6y - 8 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
10y^{2} - 6y - 8 = 0
pelo método de Bháskara:
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot 10 \cdot (-8)}}{2\cdot 10} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 320}}{20} = \frac{6 \pm 2\sqrt{89}}{20} = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{10}.

Passo 5

Agora voltamos à expressão x = 3y - 1 para cada valor de y:
x = 3\Bigl(\frac{3 \pm \sqrt{89}}{10}\Bigr) - 1 = \frac{9 \pm 3\sqrt{89}}{10} - \frac{10}{10} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{89}}{10}.

Resposta

As soluções do sistema são
\bigl(x,y\bigr) = \Bigl(\tfrac{-1 + 3\sqrt{89}}{10},\,\tfrac{3 + \sqrt{89}}{10}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{-1 - 3\sqrt{89}}{10},\,\tfrac{3 - \sqrt{89}}{10}\Bigr).

Exercícios de Livros Relacionados