Resolva o sistema
l ||3 x+4|=2 y ||2 x-1|=y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema com valor absoluto
lvert 3x+4rvert = 2y, lvert 2x-1rvert = y
O conteúdo envolvido é equações modulares. Vamos usar a definição de valor absoluto e análise de casos para encontrar todas as soluções em R^2.

Passo 2

Da segunda equação temos
y = lvert 2x - 1rvert,
o que implica imediatamente y>=0.

Passo 3

Substituindo esse y na primeira equação, obtemos
lvert 3x + 4rvert = 2,lvert 2x - 1rvert

Passo 4

Para resolver
lvert 3x + 4rvert = 2,lvert 2x - 1rvert
usamos a definição de módulo em quatro combinações de sinal:
1. Se 3x+4>=0 e 2x-1>=0, então lvert 3x+4rvert=3x+4 e lvert 2x-1rvert=2x-1. A equação vira
3x+4 = 2(2x-1),
cuja solução é x=6. Verificando as hipóteses: 3cdot6+4=22>=0 e 2cdot6-1=11>=0, então x=6 vale.
2. Se 3x+4>=0 e 2x-1<0, então lvert 3x+4rvert=3x+4 e lvert 2x-1rvert=-(2x-1). A equação vira
3x+4 = 2(-2x+1),
cuja solução é 7x=-2, ou x=-tfrac27. Verificando: 3(-2/7)+4=22/7>=0 e 2(-2/7)-1=-11/7<0, então x=-tfrac27 vale.
3. Os casos em que 3x+4<0 levam a contradições nas hipóteses de sinal (as soluções encontradas não satisfazem 3x+4<0). Portanto, as únicas soluções para x são
x=6 e x=-tfrac27

Passo 5

Agora calculamos y=lvert 2x-1rvert em cada caso:
  • Para x=6:
    y = lvert 2cdot6 -1rvert = lvert 11rvert = 11
  • Para x=-tfrac27:
    y = llvert 2cdot(-tfrac27) -1rrvert = llvert -tfrac47 -1rrvert = llvert -tfrac117rrvert = tfrac117

Resposta

As soluções do sistema são
( x, y ) = (6,,11) e l(-tfrac27,,tfrac117r)

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