O enunciado pede a solução do sistema de inequações
1 + 2x >= 0, -4x^2 + 8x - 3 < 0
O conteúdo aqui é resolução de inequação linear e de inequação quadrática, e depois faremos a interseção dos conjuntos solução.
Passo 2
Resolvendo a inequação linear
1 + 2x >= 0
subtraímos 1 dos dois lados e dividimos por 2>0, obtendo
2x >= -1 Longrightarrow x >= -tfrac12
Passo 3
Resolvendo a inequação quadrática
-4x^2 + 8x - 3 < 0
podemos multiplicar tudo por -1 (invertendo o sinal da desigualdade) e escrever
4x^2 - 8x + 3 > 0
O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4 cdot 4 cdot 3 = 64 - 48 = 16,
portanto as raízes são
x = 8 pm raiz162cdot4 = 8 pm 48 ;Longrightarrow; x = tfrac12 ou x = tfrac32
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola 4x^2-8x+3 fica acima do eixo x para
x in (-infty,tfrac12);cup;(tfrac32,infty)
Passo 4
Fazendo a interseção das duas soluções
x >= -tfrac12 e x in (-infty,tfrac12)cup(tfrac32,infty),
vemos que a parte em (-infty,tfrac12) se restringe a [-tfrac12,tfrac12), e a parte (tfrac32,infty) já está contida em x>= -tfrac12. Logo, a solução do sistema é
x in l[-tfrac12,tfrac12r);cup;l(tfrac32,inftyr)
Resposta
l[-tfrac12,tfrac12r);cup;l(tfrac32,inftyr)
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 316.c