Resolva os sistemas de inequações:
l1+2 x >= 0 -4 x^2+8 x-3<0

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de inequações
1 + 2x >= 0, -4x^2 + 8x - 3 < 0
O conteúdo aqui é resolução de inequação linear e de inequação quadrática, e depois faremos a interseção dos conjuntos solução.

Passo 2

Resolvendo a inequação linear
1 + 2x >= 0
subtraímos 1 dos dois lados e dividimos por 2>0, obtendo
2x >= -1 Longrightarrow x >= -tfrac12

Passo 3

Resolvendo a inequação quadrática
-4x^2 + 8x - 3 < 0
podemos multiplicar tudo por -1 (invertendo o sinal da desigualdade) e escrever
4x^2 - 8x + 3 > 0
O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4 cdot 4 cdot 3 = 64 - 48 = 16,
portanto as raízes são
x = 8 pm raiz162cdot4 = 8 pm 48 ;Longrightarrow; x = tfrac12 ou x = tfrac32
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola 4x^2-8x+3 fica acima do eixo x para
x in (-infty,tfrac12);cup;(tfrac32,infty)

Passo 4

Fazendo a interseção das duas soluções
x >= -tfrac12 e x in (-infty,tfrac12)cup(tfrac32,infty),
vemos que a parte em (-infty,tfrac12) se restringe a [-tfrac12,tfrac12), e a parte (tfrac32,infty) já está contida em x>= -tfrac12. Logo, a solução do sistema é
x in l[-tfrac12,tfrac12r);cup;l(tfrac32,inftyr)

Resposta

l[-tfrac12,tfrac12r);cup;l(tfrac32,inftyr)

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