Resolva os sistemas de inequações:
l-2 x^2-x+1 >= 0 4 x^2-8 x+3 <= 0

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de inequações
-2x^2 - x + 1 >= 0, 4x^2 - 8x + 3 <= 0
O conteúdo é resolução de inequações quadráticas: para cada polinômio vamos encontrar as raízes, determinar onde ele é não positivo ou não negativo, e por fim intersectar os intervalos obtidos.

Passo 2

Vamos tratar a primeira inequação
-2x^2 - x + 1 >= 0
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo o sinal da desigualdade, obtemos
2x^2 + x - 1 <= 0
Calculemos o discriminante:
De<a = 1^2 - 4cdot 2 cdot (-1) = 1 + 8 = 9
As raízes são
x = -1 pm raiz92cdot 2 = -1 pm 34,
isto é x1 = -1 e x2 = tfrac12. Como 2x^2+x-1 é uma parábola com concavidade para cima, ela fica <= 0 entre as raízes. Logo a solução da primeira inequação é
x in [-1,tfrac12]

Passo 3

Agora a segunda inequação
4x^2 - 8x + 3 <= 0
O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4cdot 4 cdot 3 = 64 - 48 = 16
As raízes são
x = 8 pm raiz162cdot 4 = 8 pm 48,
isto é x1 = tfrac12 e x2 = tfrac32. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola é para cima e fica <= 0 entre as raízes. Portanto a solução da segunda inequação é
x in [tfrac12, tfrac32]

Passo 4

Para resolver o sistema, intersectamos as duas soluções:
[-1,tfrac12] ,cap, [tfrac12,tfrac32] = tfrac12

Resposta

A única solução do sistema é x = tfrac12.

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