Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xa+cos x=2raiza^2-1 tg^-1(raiza^2-1 tg x2a+1)+C, a>1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
integral dxa+cos x =2raiza^2-1;tg^-1!gl(raiza^2-1,tanx2a+1gr)+C, a>1
O conteúdo aqui é checar por derivação que a função
F(x)=2raiza^2-1;tg^-1!gl(raiza^2-1,tanx2a+1gr)
satisfaça F'(x)=1/(a+cos x).

Passo 2

Defina
u=raiza^2-1a+1,tanx2,
de modo que
F(x)=2raiza^2-1;tg^-1(u)
Usaremos ddxl[tg^-1(u)r]=u'1+u^2.

Passo 3

Calcule u'. Como
u=raiza^2-1a+1,tanx2,
temos
dudx =raiza^2-1a+1cdotddxl(tanx2r) =raiza^2-1a+1cdot12sec^2x2 =raiza^2-12(a+1),sec^2x2

Passo 4

Calcule 1+u^2:
1+u^2 =1+a^2-1(a+1)^2tan^2x2 =(a+1)+(a-1)tan^2x2a+1
Logo
u'1+u^2 =raiza^2-12(a+1)sec^2x2 (a+1)+(a-1)tan^2x2a+1 =raiza^2-12;sec^2x2(a+1)+(a-1)tan^2x2

Passo 5

Agora
F'(x) =2raiza^2-1;u'1+u^2 =2raiza^2-1cdotraiza^2-12; sec^2x2(a+1)+(a-1)tan^2x2 =sec^2x2(a+1)+(a-1)tan^2x2
Use as identidades
sec^2x2=1cos^2x2, tan^2x2=sin^2x2cos^2x2,
para escrever o denominador como
(a+1)cos^2x2+(a-1)sin^2x2 =al(cos^2x2+sin^2x2r) +l(cos^2x2-sin^2x2r) =a+cos x
Portanto
F'(x)=1a+cos x

Resposta

Como F'(x)=1/(a+cos x), a fórmula está verificada.

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