Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral sen^2 x d x=12 x-12 sen x cos x+C

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e verificar por derivação a fórmula de integração
integral sin^2 x , dx
sabendo que o resultado deve ser
12 x - 12 sin x cos x + C
O que vamos usar é a identidade de ângulo duplo e integrais básicas.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo duplo para sin^2 x:
sin^2 x = 1 - cos(2x)2

Passo 3

Substituímos na integral e separamos os termos:
integral sin^2 x , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx = 12 integral 1 , dx ;-;12 integral cos(2x) , dx

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral 1 , dx = x, integral cos(2x) , dx = sin(2x)2
Logo
integral sin^2 x , dx = 12,x ;-;12cdotsin(2x)2 + C = 12 x - sin(2x)4 + C

Passo 5

Usamos a identidade sin(2x)=2sin xcos x para escrever
sin(2x)4 = 2sin xcos x4 = 12sin xcos x,
ficando
integral sin^2 x , dx = 12 x - 12 sin x cos x + C

Passo 6

Para verificar, derivamos
F(x)=12 x - 12sin xcos x:
F'(x) = 12 - 12l(cos^2 x - sin^2 xr) = 12 - 12cos(2x) = sin^2 x,
conferindo que F'(x)=sin^2 x.

Resposta

integral sin^2 x , dx = 12 x - 12 sin x cos x + C

Exercícios de Livros Relacionados