Mostrar graficamente as partes do eixo x onde as seguintes desigualdades são satisfeitas:
x1-x>1-xx.

Passo 1

O enunciado pede determinar, no eixo real, os valores de x que satisfazem
x1-x > 1-xx
O conteúdo envolvido é desigualdade entre funções racionais. Vamos precisar ( 1) determinar o domínio, ( 2) passar tudo para um único quociente, ( 3) montar o quadro de sinais.

Passo 2

Analisando os denominadores, vemos que devemos excluir os pontos
x=0e x=1,
então o domínio da desigualdade é Rsetminus0,1.

Passo 3

Passamos tudo para um único quociente:
x1-x > 1-xx Long<=ftrightarrow x1-x - 1-xx > 0 Long<=ftrightarrow x^2 - (1-x)^2x(1-x) > 0
Calculando o numerador:
x^2 - (1-x)^2 = x^2 - (1 - 2x + x^2) = 2x - 1
Logo a desigualdade fica
2x - 1x(1-x) > 0

Passo 4

Os pontos críticos (zeros do numerador ou zeros do denominador) são
2x - 1 = 0 ;Longrightarrow; x=tfrac12, x=0, x=1
Isso divide o eixo real nos intervalos (-infty,0), (0,tfrac12), (tfrac12,1) e (1,infty).

Passo 5

Fazendo o quadro de sinais de tfrac2x-1x(1-x):
Intervalo (-infty,0) (0,tfrac12) (tfrac12,1) (1,infty)
2x-1 - - + + x(1-x) - + + -
Quociente + - + -
A desigualdade exige quociente >0, portanto as soluções são
xin(-infty,0)cupl(tfrac12,1r)

Passo 6

Para representar graficamente no eixo x:
bul<=t Marcamos círculos abertos em x=0, x=tfrac12 e x=1.
bul<=t Sombreia-se a região à esquerda de 0 (todo (-infty,0)) e a região entre tfrac12 e 1.

Resposta

A solução da desigualdade é
xin(-infty,0);cup;l(tfrac12,1r),
e no eixo real isso corresponde a sombrear (-infty,0) e (tfrac12,1), com círculos abertos nos pontos 0, tfrac12 e 1.

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