FU - Qual é o resto de 4^19 por 7 ?
a) 0
c) 2
d) 1
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 4^19 por 7. O conteúdo é aritmética modular e vamos usar o fato de que potências em módulo acabam formando um padrão periódico.

Passo 2

Em aritmética modular, para calcular a^n bmod m a gente costuma calcular potências sucessivas de a em módulo m até perceber um ciclo. Se m é primo, o Teorema de Fermat garante que a^m-1equiv1pmodm para gcd(a,m)=1, mas mesmo sem recorrer a ele podemos identificar o período diretamente.

Passo 3

Vamos achar o padrão de 4^kpmod7 para k=1,2,3. Temos 4^1equiv4pmod7, 4^2=16equiv2pmod7 e 4^3=4cdot2=8equiv1pmod7. Logo o ciclo de restos é
4,2,1
e então se repete com período igual a 3.

Passo 4

Como o período é 3, basta reduzir o expoente 19 módulo 3. Observamos que 19=3cdot6+1, isto é,
19equiv1pmod3
.

Passo 5

Portanto
4^19equiv4^1pmod7
e o resto da divisão é 4.

Resposta

e) 4

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