Que retângulo de área dada tem perímetro máximo?
Passo 1
O enunciado quer saber, entre todos os retângulos cuja área é um valor fixo
, qual deles apresenta o maior perímetro. Vamos usar otimização em uma única variável: definimos variáveis para os lados, impomos a restrição da área e expressamos o perímetro como função de uma única variável.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo. A área fixa impõe
O perímetro vale
Usamos a restrição para eliminar
:
logo
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Igualando a zero para achar pontos críticos:
Passo 4
Vejamos se esse ponto crítico é máximo ou mínimo. A segunda derivada é
que é positiva para todo
. Isso mostra que
é mínimo de
, e não máximo.
Passo 5
Para investigar máximo, olhamos os extremos do domínio
e
:
Como o perímetro cresce sem limite ao fazer um lado muito pequeno e o outro muito grande, não há retângulo de área
que atinja um perímetro máximo finito.
Resposta
Não existe retângulo de área dada cujo perímetro seja máximo; o perímetro pode crescer arbitrariamente, de modo que o supremo é infinito e não há máximo.