Que retângulo de área dada tem perímetro máximo?

Passo 1

O enunciado quer saber, entre todos os retângulos cuja área é um valor fixo A>0, qual deles apresenta o maior perímetro. Vamos usar otimização em uma única variável: definimos variáveis para os lados, impomos a restrição da área e expressamos o perímetro como função de uma única variável.

Passo 2

Sejam x>0 e y>0 os comprimentos dos lados do retângulo. A área fixa impõe
x,y = A
O perímetro vale
P = 2(x + y)
Usamos a restrição para eliminar y:
y = Ax,
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P(x) = 2l(x + Axr), x>0

Passo 3

Calculamos a derivada de P(x):
P'(x) = 2l(1 - Ax^2r)
Igualando a zero para achar pontos críticos:
1 - Ax^2 = 0 Longrightarrow x^2 = A Longrightarrow x = raizA

Passo 4

Vejamos se esse ponto crítico é máximo ou mínimo. A segunda derivada é
P''(x) = 2cdot2Ax^3 = 4Ax^3,
que é positiva para todo x>0. Isso mostra que x=raizA é mínimo de P(x), e não máximo.

Passo 5

Para investigar máximo, olhamos os extremos do domínio xto0^+ e xto+infty:
limxto0^+P(x)=limxto0^+2l(x+tfracAxr)=+infty,
limxto+inftyP(x)=limxto+infty2l(x+tfracAxr)=+infty
Como o perímetro cresce sem limite ao fazer um lado muito pequeno e o outro muito grande, não há retângulo de área A que atinja um perímetro máximo finito.

Resposta

Não existe retângulo de área dada cujo perímetro seja máximo; o perímetro pode crescer arbitrariamente, de modo que o supremo é infinito e não há máximo.

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