Um problema em transportes. Um motorista está para dirigir um carro numa viagem de 500 km . O custo de operação do carro é 5+0,1(v-50) centavos por km , onde v é a velocidade em km / h. O motorista cobra Cr$ 30,00 por hora. A que velocidade o custo total é mínimo?

Passo 1

O enunciado dá uma viagem de 500 km, com custo de operação do carro igual a
5 + 0,1,(v - 50)
centavos por km, onde v é a velocidade em km/h, e o motorista cobra CR$ 30 por hora de viagem. Queremos determinar a velocidade v que minimiza o custo total da viagem.

Passo 2

Primeiro convertemos o custo de operação para reais por km. Como 100 centavos = CR$ 1, temos
custo operacional por km = 0,01l(5 + 0,1,(v - 50)r) = 0,01cdot5 + 0,001,(v - 50) = 0,05 + 0,001v - 0,05 = 0,001,v
reais por km. Para 500 km, o custo operacional total é
Cop(v)=500 times 0,001,v =0,5,vreais

Passo 3

O tempo de viagem é tfrac500v horas, então a remuneração do motorista é
Cmotorista(v) =30 times 500v =15000v reais
Logo o custo total é
C(v)=Cop(v)+Cmotorista(v) =0,5,v + 15000v

Passo 4

Para achar o mínimo de C(v) para v>0, calculamos a derivada
C'(v)=0,5 - 15000v^2
e igualamos a zero:
0,5 = 15000v^2 Longrightarrow v^2 = 150000.5=30000 Longrightarrow v= raiz30000=100raiz3,km/h
Como a segunda derivada
C''(v)=30000v^3
é positiva para v>0, esse ponto é de mínimo.

Resposta

A velocidade que minimiza o custo total é
v = 100raiz3,km/happrox173,2 km/h

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